Calculadora de factorial / permutaciones / combinaciones
Introduce n y k. Devuelve n!, P(n,k) (selecciones ordenadas) y C(n,k) (selecciones no ordenadas). Útil para probabilidad, estadística y deberes de combinatoria.
Cómo funciona
Factorial
n! (léase 'n factorial') es el producto de todos los enteros positivos de 1 a n. Así 5! = 1×2×3×4×5 = 120. Por convención, 0! = 1 (el producto vacío).
Los factoriales crecen muy rápido. 10! = 3.6M, 20! = 2.4×10¹⁸, 100! tiene 158 dígitos. La coma flotante se rompe en 21! (por límite de doble precisión); usamos BigInt para valores exactos hasta n=5000.
Permutaciones vs combinaciones
Permutaciones P(n,k) = n! / (n−k)!: número de formas ordenadas de elegir k de n. P(5,2) = 20: elige el primero entre 5, el segundo entre 4 = 5×4 = 20.
Combinaciones C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): formas no ordenadas. C(5,2) = 10: las mismas elecciones pero {primero, segundo} = {segundo, primero}, así que divides por 2!. La famosa 'n choose k'.
Usa permutaciones cuando importa el orden (podio, orden de contraseña). Usa combinaciones cuando solo importa el conjunto (números de lotería, comité). C(n,k) ≤ P(n,k) siempre; iguales con k=1.
Dónde aparecen
Probabilidad: dados, cartas, monedas. P(3 caras en 5 lanzamientos) = C(5,3) × (1/2)⁵ = 10/32. Las combinaciones cuentan resultados favorables.
Estadística: la binomial usa C(n,k). Muestreo sin reemplazo usa combinaciones.
Computación: contar subconjuntos, análisis de complejidad (p.ej. k-clique enumeration es C(n,k)), algoritmos de grafos.
Mundo real: probabilidades de lotería (US Powerball: C(69,5) × 26 ≈ 292M combinaciones). Combos de menú: 'elige 3 de 8 acompañamientos' es C(8,3) = 56 formas.
Preguntas frecuentes
›¿Por qué 0! = 1?
Por convención, el 'producto vacío' es 1 (igual que la suma vacía es 0). También hace que fórmulas como C(n,0) = 1 (una forma de no elegir nada) funcionen.
›¿Cuál es el factorial máximo que calcula?
n=5000 da un número de 16,326 dígitos. Capamos en 5000 para evitar congelar el navegador. Para mayor, usa un CAS.
›¿Diferencia permutaciones vs combinaciones?
El orden importa en permutaciones, no en combinaciones. {A,B} es la misma combinación que {B,A} pero dos permutaciones distintas: AB y BA.
›¿Hay factoriales para números negativos?
No en el sentido estándar. La función gamma Γ(x) extiende factorial a todos los reales (y complejos), pero esta calculadora solo maneja enteros no negativos.
›¿Fórmula de combinaciones?
C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!). Léase 'n choose k'. Equivalente: P(n,k) / k! ya que el orden no importa.
›¿Qué tan precisa es?
Exacta para todos los valores en el rango. Usamos aritmética BigInt, sin error de coma flotante.
›¿Por qué 70! es tanto más grande que 60!?
Cada factorial multiplica por el siguiente entero. 70! es ~60! × 61 × 62 × … × 70 ≈ 60! × 1.4 × 10¹⁷. Crece más rápido que exponencial — ~n^n × e^-n × √(2πn) por Stirling.
›¿Los datos salen del navegador?
No. El cálculo corre localmente; nada se envía a un servidor.
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