二次方程求解器 (ax² + bx + c = 0)

求根公式

ax² + bx + c = 0 且 a ≠ 0 時, 解為 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。平方根下的表示式是「判別式」(D = b² − 4ac), 其符號決定根的型別。

D > 0: 兩個不同實根。拋物線在兩點穿過 x 軸。

D = 0: 一個重實根。拋物線在頂點處與 x 軸相切。

D < 0: 兩個複共軛根。拋物線根本不接觸 x 軸。

頂點與拋物線形狀

每個二次函式都畫成拋物線。頂點 (轉折點) 在 x = −b / 2a, 代回得 y 座標。我們計算為 y = −D / 4a, 等價。

a > 0 拋物線開口向上, 頂點是最小值。a < 0 向下, 頂點是最大值。對稱軸垂直透過頂點。

退化情況

a = 0 時, 方程實際上不是二次的 — 它變成線性: bx + c = 0, 解為 x = −c/b (如果 b ≠ 0)。我們檢測這並按線性求解。

a = 0 且 b = 0: c 必須等於 0 才有解。如果 c = 0, 每個 x 都是解; 如果 c ≠ 0, 無解。兩種情況都報告。