二次方程求解器 (ax² + bx + c = 0)

求根公式

ax² + bx + c = 0 且 a ≠ 0 时, 解为 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。平方根下的表达式是「判别式」(D = b² − 4ac), 其符号决定根的类型。

D > 0: 两个不同实根。抛物线在两点穿过 x 轴。

D = 0: 一个重实根。抛物线在顶点处与 x 轴相切。

D < 0: 两个复共轭根。抛物线根本不接触 x 轴。

顶点与抛物线形状

每个二次函数都画成抛物线。顶点 (转折点) 在 x = −b / 2a, 代回得 y 坐标。我们计算为 y = −D / 4a, 等价。

a > 0 抛物线开口向上, 顶点是最小值。a < 0 向下, 顶点是最大值。对称轴垂直通过顶点。

退化情况

a = 0 时, 方程实际上不是二次的 — 它变成线性: bx + c = 0, 解为 x = −c/b (如果 b ≠ 0)。我们检测这并按线性求解。

a = 0 且 b = 0: c 必须等于 0 才有解。如果 c = 0, 每个 x 都是解; 如果 c ≠ 0, 无解。两种情况都报告。