이차 방정식 풀이기 (ax² + bx + c = 0)

계수 a, b, c 입력. 풀이기가 이차 공식 x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a 적용. 두 실수근, 한 반복근, 두 켤레 복소수근, 또는 퇴화 케이스 구별.

1x² + -3x + 2= 0

abc

두 실수근

x₁ = 2

x₂ = 1

작동 방식

ax² + bx + c = 0에 a ≠ 0이면 해는 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). 제곱근 아래 식은 '판별식'(D = b² − 4ac), 그 부호가 근의 종류 결정.

D > 0: 두 별개 실수근. 포물선이 두 점에서 x축 교차.

D = 0: 한 반복 실수근. 포물선이 꼭짓점에서 x축 접함(접선).

D < 0: 두 켤레 복소수근. 포물선이 x축에 닿지 않음.

모든 이차가 포물선으로 그래프. 꼭짓점(전환점)은 x = −b / 2a, 다시 대입해 y 좌표 도출. y = −D / 4a로 계산, 등가.

a > 0이면 포물선이 위로 열리고 꼭짓점이 최소. a < 0이면 아래로, 꼭짓점이 최대. 대칭축이 꼭짓점을 수직 통과.

a = 0이면 방정식 실제로 이차 아님 — 선형 됨: bx + c = 0, 해 x = −c/b(b ≠ 0이면). 이를 감지하고 선형으로 풀기.

a = 0이고 b = 0이면: 어떤 해도 존재하려면 c가 0이어야 함. c = 0이면 모든 x가 해; c ≠ 0이면 해 없음. 두 케이스 모두 보고.

›왜 판별식 유용?

풀지 않고 근의 본성 알려줌: D > 0은 두 실수근, D = 0은 한 반복, D < 0은 복소수. 종종 알아야 할 전부.

›'반복 근'이란?

D = 0일 때 공식이 x = −b/2a만 줌. 대수적으로 방정식이 a(x − r)² = 0으로 인수분해, 그래서 r이 '중복도 2'로 두 번 근으로 나타남.

›복소수 근 실세계 유용?

네. AC 회로, 신호 처리, 양자 역학, 항공역학 모두 복소수 사용. 물리적 답이 실수여도 복소수 중간 단계 흔함.

›삼차 또는 더 높은 방정식 풀기 가능?

이 도구에서 안 됨. 삼차와 사차는 닫힌 형식 해 있지만 더 복잡. 고차 다항식 수치 해는 NumPy나 Sage/Mathematica 같은 CAS 사용.

›계수가 매우 크면?

b²와 4ac가 거의 같을 때 D의 부동소수점 정밀도 저하. 연구급 정확도는 임의 정밀도 산술 라이브러리 사용.

›포물선의 '꼭짓점' 의미?

포물선이 방향 바꾸는(감소에서 증가 또는 반대) 단일 '전환점'. x = −b/(2a)에 위치. 최적화 문제에서 최솟값/최댓값 찾기에 유용.

›왜 근이 '근'이라 불림?

역사적: '근'은 라틴어 radix 번역, 방정식의 출처/원천으로 은유적 사용. 근은 다항식이 0인 곳.

›데이터가 전송되나요?

전송되지 않습니다. 계산은 로컬.