팩토리얼 / 순열 / 조합 계산기

n과 k 입력. n!, P(n,k)(순서 있는 선택), C(n,k)(순서 없는 선택) 반환. 확률, 통계, 조합론 숙제에 유용.

nk (순열 / 조합용)

3628800

P(n, k) = n! / (n−k)! (순열)

720

C(n, k) = n! / (k!(n−k)!) (조합)

120

작동 방식

n!('n 팩토리얼'로 읽음)은 1부터 n까지 모든 양의 정수의 곱. 그래서 5! = 1×2×3×4×5 = 120. 관습으로 0! = 1(빈 곱).

팩토리얼은 매우 빨리 성장. 10! = 3.6M, 20! = 2.4×10¹⁸, 100!은 158 자리. 부동소수점은 21!에서 깨짐(이중 정밀도 한계 때문); 우리는 n=5000까지 정확한 값에 BigInt 사용.

순열 P(n,k) = n! / (n−k)!: n에서 k 항목을 순서 있게 선택하는 방법 수. P(5,2) = 20: 5에서 첫 자리 선택, 남은 4에서 두 번째 = 5×4 = 20.

조합 C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): 순서 없는 방법 수. C(5,2) = 10: 같은 선택이지만 {첫 번째, 두 번째} = {두 번째, 첫 번째}이므로 2!로 나눔. 유명한 'n choose k'.

순서가 중요할 때 순열 사용(레이스 포디움, 비밀번호 순서). 선택된 집합만 중요할 때 조합 사용(복권 번호, 위원회 선택). C(n,k) ≤ P(n,k) 항상; k=1일 때 같음.

확률: 주사위, 카드, 동전 던지기. P(5번 던지기에 3번 앞) = C(5,3) × (1/2)⁵ = 10/32. 조합이 유리한 결과 카운트 가능하게 함.

통계: 이항 분포가 C(n,k) 사용. 비복원 샘플링이 조합 사용.

컴퓨터 과학: 부분집합 카운트, 복잡도 분석(예: k-clique 열거는 C(n,k)), 그래프 알고리즘.

실제: 복권 확률(미국 Powerball: C(69,5) × 26 ≈ 2억9200만 조합). 레스토랑 메뉴 조합: '8개 사이드에서 3개 선택'은 C(8,3) = 56 가지.

›왜 0! = 1?

관습으로 '빈 곱'은 1(빈 합이 0인 것처럼). 또한 C(n,0) = 1(아무것도 선택 안 하는 한 가지 방법) 같은 공식이 일관되게 작동 가능.

›본 계산기가 계산하는 가장 큰 팩토리얼?

n=5000은 16,326 자리 숫자. 거대 입력에 브라우저 멈춤 방지에 5000에서 상한. 더 크면 CAS 사용.

›순열과 조합 차이?

순열에서 순서 중요, 조합에서 안 중요. {A,B}는 {B,A}와 같은 조합이지만 다른 두 순열: AB와 BA.

›음수에 팩토리얼 정의?

표준 의미로 안 됨. 감마 함수 Γ(x)가 팩토리얼을 모든 실수(와 복소수)로 확장, 그러나 본 계산기는 비음수 정수만 처리.

›조합 공식?

C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!). 'n choose k'로 읽음. 등가로: 순서 안 중요하므로 P(n,k) / k!.

›정확도?

범위 내 모든 값에 정확. BigInt 산술 사용, 부동소수점 오류 없음.

›왜 70!이 60!보다 훨씬 큰가?

각 팩토리얼이 다음 정수로 곱셈. 70!은 대략 60! × 61 × 62 × … × 70 ≈ 60! × 1.4 × 10¹⁷. 팩토리얼은 지수보다 빠르게 성장 — Stirling 근사로 대략 n^n × e^-n × √(2πn).

›데이터가 전송되나요?

전송되지 않습니다. 계산은 로컬.