階乗・順列・組合せ計算機（n!・nPr・nCr）

nとkを入力。n!、P(n,k)（順序付き選択）、C(n,k)（順序なし選択）を返します。確率、統計、組合せの宿題に有用。

nk （順列・組合せ用）

3628800

P(n, k) = n! / (n−k)! (順列)

720

C(n, k) = n! / (k!(n−k)!) (組合せ)

120

仕組み

n!（読み「nの階乗」）は1からnまでのすべての正の整数の積。5! = 1×2×3×4×5 = 120。慣例的に、0! = 1（空積）。

階乗は非常に高速に成長。10! = 360万、20! = 2.4×10¹⁸、100!は158桁。倍精度浮動小数点では21!で破綻（限界のため）、本ツールはBigIntで n=5000 までの正確な値を計算。

順列 P(n,k) = n! / (n−k)!: nから k 個を順序付きで選ぶ方法の数。P(5,2) = 20: 1位を5から、2位を残り4から = 5×4 = 20。

組合せ C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): 順序なしの選び方の数。C(5,2) = 10: 同じ選択でも {1位, 2位} = {2位, 1位} なので 2! で割る。有名な「n から k 選ぶ」。

順序が重要なら順列を使用（レース表彰台、パスワード順）。選んだ集合だけが重要なら組合せを使用（宝くじ番号、委員会選出）。常に C(n,k) ≤ P(n,k)、k=1のとき等しい。

確率: サイコロ、カード、コイン投げ。P(5回中3回表) = C(5,3) × (1/2)⁵ = 10/32。組合せは有利な結果を数えられる。

統計: 二項分布は C(n,k) を使用。非復元抽出は組合せ。

コンピュータサイエンス: 部分集合の数、複雑度分析（k-クリーク列挙は C(n,k)）、グラフアルゴリズム。

実世界: 宝くじオッズ（米国Powerball: C(69,5) × 26 ≈ 2億9200万通り）。レストランメニュー: 「8品から3品選ぶ」は C(8,3) = 56通り。

›なぜ 0! = 1？

慣例的に「空積」は1（空和が0であるのと同様）。また C(n,0) = 1（何も選ばない方法は1通り）のような公式が一貫して動作するため。

›計算できる最大の階乗は？

n=5000で16,326桁の数値。巨大入力でブラウザがフリーズしないよう5000で制限。それ以上はCAS使用。

›順列と組合せの違いは？

順列では順序が重要、組合せでは無関係。{A,B}は{B,A}と同じ組合せだが、2つの異なる順列: ABとBA。

›負の数の階乗は定義される？

標準的な意味では定義されません。ガンマ関数 Γ(x) は階乗を全実数（と複素数）に拡張しますが、本ツールは非負整数のみ。

›組合せの公式は？

C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!)。「n choose k」と読む。等価的に: 順序が重要でないので P(n,k) / k!。

›計算精度は？

範囲内のすべての値で正確。BigInt演算を使用、浮動小数点誤差なし。

›なぜ 70! は 60! より大きい？

各階乗は次の整数を掛ける。70! はおよそ 60! × 61 × 62 × … × 70 ≈ 60! × 1.4 × 10¹⁷。階乗は指数関数より速く成長 — スターリング近似で n^n × e^-n × √(2πn)。

›データは送信されますか？

送信されません。計算はブラウザ内で完結します。